小銭が財布から全て消える確率は？

   今回はコンビニで支払いをしていてふと思いついた問題について書こうと思います。ちなみにまだ答えはでてません。

こんなこと気になる人はほとんどいないでしょう。そしてこの記事のアクセス数はたぶん伸びないでしょう。

・・・でもそんなことは僕はどうでもいいので、自分が思ったことを書くまでです。笑

問題：財布の中の小銭がなるべく減るように代金を払い続けた場合、財布の中の小銭が0枚になる確率はいくらか求めよ。

僕は会計で代金を払う時、財布の中のなるべく多くの小銭を払うタイプです。同じタイプの人なら「ああ。」とわかると思いますが、そうでない人もいると思うので一つ例を挙げます。

代金：ピザまん＋アルフォート＋コーラ＝387円（税込）

財布の中：500円1枚、100円3枚、10円4枚、1円3枚

だとしたら、僕は500円1枚、10円4枚、1円2枚（＝542円）を払い、おそらく会計をしている店員を観察しながら頭の中でお釣りの計算をして55円と答えを出し、55円のお釣りを受け取る（確かに自分の計算と合っていると確認する）でしょう。

ここで一旦考えたいのは財布の中の小銭の数がどう変化したかということです。

代金を払う前：1＋4＋4＋3＝12枚

代金を払ってお釣りを受け取った後：12－（1＋4＋2）＋2＝7枚

すると財布の中の小銭は5枚減ったことになります。

こういう風に、小銭の数が減るようにお釣りを払い続けていると、たまに小銭が空っぽになるときがあります。

……と、そのことをふとコンビニの会計の時に思い出して上の問題を思いついたわけです。

計算のしかたをぼんやり考えながらコンビニから自宅までの道を歩いていきました。が、答えはまだ出ず、です。

直感的には「ランダムウォーク」が関係してそうな気はするものの、通常のランダムウォークの場合はある基準点に近づくことも離れることもランダムに決まる（左右にランダムにフラフラし続ける）ので、基準点（この問題の場合は「小銭が0枚の状態」）に意図的に近づくように点（この問題の場合は「各会計の時点における財布の中の小銭の枚数」）が移動する今回のケースとは違う気もします。

まあ無理もありません。そもそも毎回買うものの代金は事前にはわからず、小銭の枚数もそれに応じて変動するのです。

でもこれ、面白くありませんか？

…いや、面白くないのかなあ～…。笑

でも小銭の枚数がなるべく減るように払うんだから、そのうち0枚になることはありうる。じゃあそれはどれくらいありうるのか。その確率は？と思うわけです。

もしかしたらこの問題の答えは出せない（つまり「解けない問題である」）かもしれないともちょっと思っています。でもその時はその時で、「ではこの確率が求めることが不可能であること」を証明したいと思うわけです。それはそれで取りくみ甲斐がありそうではありませんか？